我和數學的淵源

 吳培元

數學啟蒙

     我第一次對數學產生興趣，應是在五十多年前 (1961年)，在建國中學初三上"平面幾何"課的時候。當時的任課老師王德成先生雖是補習班名師之一，但在平常教學還是相當認真的。他每在教完一個段落後，就會指定一些課外問題讓我們回家作，隔一段時間後再在班上檢討。這一類題目總不外是平面上的圖形，如三角形、四邊形及圓等的證明或作圖題，但要解出來卻往往需要絞盡腦汁，利用所學的定義、定理，有時還需要加上輔助線才能完成，其挑戰性遠超過之前唸過的算術、代數等科目中例行的演算題。由解題的過程中我也對邏輯推理的技巧有了初步的理解。到了修課後期，老師給的題目已不足以滿足我的好奇心，於是我又到圖書館中把各種升學用的數學參考書，甚至於數學辭典中的平面幾何問題也都一一解出。這種解題的狂熱一直持續到高一的時候，這應該也是我對數學產生興趣，終致選擇其為終生事業的開始吧。平面幾何問題用途並不是太大，其發展遠自古希臘文明時期即已展開，到了十八、十九世紀已經到了極致，難有繼續推進的餘地，但作為一個中學階段的科目而言，則不失為訓練學生作邏輯思考能力的場址。

 留學美國

     考大學時，台大數學系和清華數學系理所當然地成為我的前兩個志願。雖然這與一般世俗價值觀念並不相符（當時的甲組，即自然組，最熱門的科系是電機系），但我的父母並沒有阻攔我的選擇，這也是我應該要感謝他們的。以我的聯考成績要進台大電機系是綽綽有餘，但我對當初的選擇卻從來沒有後悔過。台大四年 (1965 - 1969) 和國外留學五年 (1970 - 1975)，對本科倒沒有投注太多的心力，當時年少輕狂，也作了不少荒唐事。尤其在美國唸書的那一段時間，美國社會經歷了反越戰、嬉皮文化的洗禮，社會價值觀正進行著一場驚天動地的變革，中國大陸文革則進入後半段的動亂，而台灣留學生則承受著保釣運動的衝擊，個人在這樣變動的環境中也不免受到影響，在美五年的狂飆歲月將永遠是我記憶中最深刻的一段。在Indiana University 攻讀博士學位期間，影響我最大的當然是我的指導教授John B. Conway。他在我寫博士論文最困頓的期間，實質性地幫我跨出決定性的一大步。他的開朗、寬厚也一直是我欣羨的特質。多年以後，他轉到 University of Tennessee 擔任數學系系主任，並以此經驗寫了一本獨一無二的書 "On Being a Department Head, a Personal View" (American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA, 1996)，內容即是教人如何作系主任。

 研究生涯

     我在美國專攻的領域是"泛函分析" (functional analysis)，或更精確的說是"算子理論" (operator theory)，主要研究在希伯特空間上的線性有界算子的結構和其不變子空間。到交通大學任教後，理所當然地開了大部份"分析"方面的課程。當時因系裡教"統計"的老師欠缺人手，而我唸書時，副修"統計"，故也開了不少這方面的課。由大三的"機率論"、"統計學"、和大四的"實驗設計"，一路開到研究所程度的"高等機率論"、"無母數統計"、和"數理統計"，靠著自己慢慢進修，倒也達到了可以作研究的臨界點，只是這一步終究沒有跨過去。當時教過的學生，一直到現在，都還以為我是讀"統計"的呢 !! 另外在大學部也開過"離散數學"和"代數學"，多年後，甚至教過一門研究所的"演算法分析"。其間我因原有的研究工作陷入低潮，一度有意轉換跑道，往"離散數學"發展，甚至每星期都到中研院參與書報討論，但因一直沒有找到適當的題材，也未能成功轉換跑道。 1984年系上博士班成立，我收了博士生，這才慢慢有機會回到自己的本行，開自己專長的"泛函分析"和"算子理論"方面的專題課程。研究的題材，也慢慢由無窮維空間的算子，轉到有限維的矩陣。近年來的研究課題也牽涉到平面及投影幾何的問題，可以說經過四十年的迂迴，又回到了當初興趣初起時的原點。

      早期台灣研究水準不高，一般說來是屬於業餘玩票性質的。當時拿到博士學位後，是以副教授聘任。三年後，升等教授，大致上都沒有問題。至於申請"國科會"的研究經費，一年一篇學術論文，大概也就足夠了。從事研究工作，來自外在的壓力不大，主要的動力，還是自我要求。這種現象，一直要到九零年代以後，才慢慢有所改變。各級單位的規章制度漸趨完備，對研究內容的要求也日益提高，慢慢轉向職業性質的方向發展了。最近我檢視了一下過去三十多年來發表過的論文，發現早期的時候，都是單打獨鬥，欲求一個合作者而不可得，大部份的論文都是以單一作者掛名的。一直到十幾年前開始，才慢慢地和指導過的博士生合作研究。到現在，則是徹底翻轉，反而是很難寫到一篇單獨掛名的論文了。這反映了一個時代的轉變，由業餘性到職業性，由個人型到團隊型，應該也是無法逆轉的時代趨勢了。

      我在Indiana University 的博士論文內容是關於希伯特空間上的"收縮算子理論" (contraction theory on Hilbert space)。這是匈牙利數學家B. Sz.-Nagy和羅馬尼亞的C. Foias兩人，在1960-1970年代間發展出來的一套算子解析模型理論。和大多數學者一樣，畢業後我延續博士論文題材的研究工作，持續了十年。到後來連自己都覺得興味索然，也到了該轉換題目的時候了。再下來的十年，是在一般的算子理論上遊移，作了不少特殊類型算子的乘積或加法組合的刻劃問題。題材雖然有趣，但不算是熱門深刻的課題。其後一段時間，和我指導的博士生高華隆合作，轉從事算子或矩陣數值域 (numerical range) 的研究。這也終成為我近二十年來的研究主題，也是我比較滿意的工作。數值域的研究源起於近一百年前，O. Toeplitz 和F. Hausdorff 兩人證明的結果: 任一矩陣的數值域必為一凸集合。這麼多年的發展下來，其研究匯聚了"矩陣分析"、"算子理論"、"凸分析理論"、"複分析理論"、"實分析理論"，甚至"代數幾何"於一爐。近年來的研究，更發現其和"量子資訊理論" (quantum information theory) 和"量子計算" (quantum computing) 有密切的關係，其未來的蓬勃發展應是可以預期的。這麼多年來，華隆也是我們兩人合作工作的主要推動者。他的解題能力極強，每在兩人討論過後，他可以很快地在幾天內就把當下的問題完全解決了。沒有他，我大概很難走到今天這一步。現在回顧起來，自己早年的論文，多屬初創期的不成熟作品，在經過了多年的沉澱洗禮後，很多結果都已被推廣到更一般的情況了。中期的論文，雖屬有趣的題材，但後續研究者較少，目前離最後的定論尚早。數值域研究還是我的最愛，尤其對Sn-matrix數值域所作的研究，將其和古典"投影幾何"的Poncelet 定理相結合，應是可以歷經時間考驗之作。

              退休多年後， 因緣際會下和英國的”劍橋大學出版社”簽約，寫一本研究性質的專書”Numerical Ranges of Hilbert Space Operators”，仍然找了華隆一起寫。這本書的初稿完成於二十多年前，當時的目的只是給指導的博士生們做研究參考用， 也沒有什麼具體的出版計畫。簽約後花了兩年時間，改寫文稿，增訂篇幅，校正英文，和最後的校對，到2021年7月書正式出版後才告一段落，也對近二十多年的研究題材做了一個總結！

 主編"台灣數學期刊"

     "台灣數學期刊" (Taiwanese Journal of Mathematics，簡稱"台數") 是在1997年由"中國數學雜誌" (Chinese Journal of Mathematics) 改名而來。我於1998年擔任一任三年的主編之職。當時期刊一年的經費約一百萬元左右，主要用於印刷和郵寄，故需向國科會申請補助。每年要到國科會自然處作年度簡報，和物理、化學、地質科學等期刊的主編並列報告，爭取經費。物理、化學等期刊早已進入SCI (Science Citation Index) 的核心期刊名單內。我和後來當選中研院院士且擔任國科會主委的李羅權兩人難兄難弟，要爭取剩下三個補助名額中的兩個。還好三年都有驚無險，順利過關。以國科會的立場，當然是要給我們壓力，以便早日進入SCI的核心期刊名單中，這個使命一直要到下一任主編許世壁教授手上，才終於達成。我擔任主編期間的主要工作，除了處理編務外，還包括了廣邀人才，擴大期刊編輯委員的陣容，邀請海外知名學者為期刊撰寫統覽式論文，建立期刊網頁，擴大和國外期刊的交換交流，並廢除了審稿費制度，以和國際接軌等。

      印象最深刻的一件事，是有一次遇到一位同系的大老級物，將一篇他和合作者的短文投寄來，他也事先說明，因某種非學術的理由，該論文曾被另一期刊拒絕刊登，希望我能參考其原評審意見，將它直接在"台數"上登出。我幾經考慮後，仍決定另行找人審查，結果審查意見回來，認為論文結果不夠創新，而予拒絕。我審視其審查內容後，覺得理由具體且充分，因而尊重其建議，將決定通知大老時，他發了一頓脾氣，數落了我幾句。事後想來，在關鍵時刻，該堅持的還是要堅持，人情也只好暫時放在一邊了。

      另一件有趣的事，是2000年時，為了配合在中山大學由黃毅青教授主辦的千禧年數學大會International Conference on Mathematical Analysis, "台數"邀請了不少與會者投寄論文，共襄盛舉。受邀者之一是Purdue University的 L. de Branges。他在1985年時，曾因證實了Bieberbach conjecture而聲名大噪。但之前和之後他的名聲卻不太好，因他多次聲稱解出了另一個重要問題invariant subspace problem，但卻不斷地發現有誤，又不斷地修改，最後都不了了之。這一次他也正式地投寄了這一方面的一篇論文"Invariant subspaces and the Stone-Weierstrass theorem"，還要獻給樊畿先生，作為慶祝後者八十五歲生日的獻禮，我也找了外審來審查，只是他又故計重施，每隔一段時間，就以書面郵件寄來一份改正的新版本，來來回回多次。歷經半年後，最後又撤消投寄，甚至連開會都不來參加了，理由是害怕萬一飛機失事，他的重要結果將石沉大海，成為數學界的重大損失。

教學生涯     

     受到年紀和早年所受的教育型式的影響，我在教學上屬於較傳統型的。一般的數學課程多是由老師在台上講授，學生在台下聽課的模式進行，我上課的方式也不例外。對於大學部的課程，除了講課內容要符合學生們能接受的範圍外，也要不時注意學生的反應，適時給與安撫與鼓勵。下課後，我儘量留在教室內，回答完所有學生的問題後才離開。這是因為台灣學生不習慣在課堂上問問題，怕打擾到別人，也不喜歡事後到辦公室來問。也許我是屬於較老派的一類，我一直認為教師的職責是啟發學生對知識本身的尊重與熱愛，而不是用一些浮淺媚俗的技倆來討好他們。當然老師在上課前，需先對課程內容有深入的了解，在上課時，則佐以其歷史發展的脈絡，相關數學家的故事 (畢竟人還是對其他人較有興趣)，與其他學科的關聯性，和其可能的應用，作不同面向的闡述。

       如果我們將數學粗略地以連續型和離散型一分為二，或以非線性和線性來區分，則"微積分"和"線性代數"應是兩門最具有代表性的基本課程。在教學時強調比較兩者的異同，應更能加深學生們對相關學科的體認。又例如可以強調無限次可微分函數和解析函數的差異性，來說明何以修過"高等微積分"課後，還要再修"複變分析"。其重點都在於活絡課程內容，使學生們對不同學科間，有一整體性鮮活的了解。

      2006年交大開始提供網路的開放課程(OpenCourseWare, OCW )，我的"複變函數論"、"實變函數論"及"矩陣分析"三門課也都開放製作單位到教室錄製。他們會要求老師事前提供上課講義，由工讀生全部打字好，放在網路上供學生參考。因講義原是給自己上課時用的，故字跡不免潦草，打字出來當然錯誤百出，需要花不少時間校對。上課時偶有失誤，錄影後並沒有後製，只好永遠留存在案了。另外一個缺點是學生在錄影時都不敢問問題，較欠缺討論的氣氛。因為是用華語上課，會在網路上觀賞的應該也都是華人。歷年來偶爾會收到大陸地區學生的來信，要求提供網路上欠缺的講義，習題解答等，或表達感謝之意，也在會議或路上意外遇到粉絲。這時候就會感覺到錄製這樣的課程，還是有收到一些回饋。

     OCW後來進化為MOOCs  (Massive Open Online Courses)。我沒有實際參與，聽說MOOCs課程上課週數較短，涵蓋的內容也較正常課程少。錄製時有可能是對著空蕩的教室講課，缺少了上課的臨場感，好處是可以重複錄影，直到滿意為止。另一方面，雖然相關課程設有網路論壇的機制，供學生們討論及問問題，但總是欠缺人與人之間的接觸互動。對於遠離校園或無法定時上課的人們，確實是提供了一個求學進修的管道，在疫情期間也成了替代方案，但短時間內恐怕仍無法完全替代傳統的授課方式。

      另一種新興的實驗性課程是e-seminar。由一個人出面召集散居在不同地區的研究生或學者，就一個共同興趣的主題，輪流研讀論文，並在網路的視聽器材上作口頭報告，事後再在其部落格上提出一份書面報告，或者大家集合開一個小型會議，作為總結。這種新型態的讀書會，應也是一個可以嘗試推廣的目標。

對年輕的學生和老師的建議

     對於有志於從事數學研究的工作者，在選擇研究領域時，我的建議是順應自己內在的興趣。在活過一定歲數後，我也看了不少不同領域的興衰。有些只是激起一時的風潮，在激情過後，消失得無影無蹤。也有些經得起時間的考驗，不斷推陳出新，創新蛻變，並和其他領域建立了出忽意料之外的結合。每一個人的天賦和發展歷程不同，不需要盲從追求時髦，儘量往熱門的領域鑽。即使研究的是一個冷門的題材，只要持之以恆，也可能有發光發熱的一天。就如同美國數學家H. Whitney (1907 - 1989) 所說: “Even simple things may have some value, especially pushed long distances.” 這也和數學上的"阿基米得原理"有異曲同工之妙。

      在實際的研究過程中，聽從直覺固然重要，但也要隨時吸取新的觀念和知識，不斷修正自己的直覺。因而平時就應多聽取不同領域學者的演講或參與其討論，擴充個人視野，以作為日後創新突破所需的能量。美國數學家P. R. Halmos (1916 - 2006) 自述，他最得意之作是將兩個看似無關的問題聯結在一起，這就需要靠平時下的功夫了。

      對於數學研究的突破，前輩學者 (如陳省身等) 的看法，認為它基本上仍是個人單獨深思的結果。印證到近二十年來數學界的重大發現，如A. Wiles證明Fermat’s last theorem (1993), G. Perelman驗證Poincare conjecture (2002)，和張益堂導出bounded gaps of primes (2013) 等，都屬個人多年深思後的突破。這也印證了J. Milnor所說的: “One person working alone can still make a big contribution.” 近年來，拜網路通訊發達之賜，集體研究創作也形成了一個新的趨勢。兩個成功的例子是由T. Gowers 和T. Tao所分別領導的Polymath Project。藉由新科技交換意見，集體創作，分別得到一個density Hales-Jewett theorem的組合證明，和將張益堂的質數差距由70,000,000降到246。固然短期內，此一型態還無法取代傳統數學的研究方式，但它仍是一個值得我們關注的發展趨勢。

      古希臘詩人Archilochus說: “The fox knows many things, but the hedgehog knows one big thing.” 類似地，數學家也可以選擇作狐狸或是作刺蝟。前者博覽群籍，涉獵多個領域; 後者則專注深耕於單一題材。基本上這要取決於個人的天賦和性情取向，並沒有絕對的優劣之分。更好的策略，也許是取其中庸之道，作一個有數學教養的人，也就是J. Ewing所定義的: “A cultured person is one who knows a little about a lot and a lot about a little.”

      提升個人的英文能力也是一個學者的重要課題。身處台灣的環境，在聽說讀寫四方面，前兩者可以多利用視訊器材，與外國訪客交談，及參加國際性會議的機會，多加練習。後二者則可以多閱讀英文論文及雜誌，回英文e-mail，和寫學術論文等方式，加以練習。其訣竅不外是持之以恆地細心體會外國人所用語法的細微處，想像自己在何種場景下，可以將其派上用場。

      最後想提的一件事，是每一個學者都偶爾會碰到的: 給學術演講。我在這一行裡已幾十年了，聽過的演講，少說也有幾百場。這其中精彩的固然不少，平淡無奇的倒也很多。最糟糕的一種是演講者太急於呈現他的重大成果給他的本行專家聽，一開始就急就章地給定義，然後是一連串技術性的引理，定理和證明，完全不顧及聽眾的理解度和接受度。當然這一類演講也有其功能，聽眾可以以此為戒，了解自己演講時應該避免重蹈其覆轍。一般的認知是，在一個學術演講的前三分之一，應該先介紹一下研究此一主題的動機，問題的由來和歷史等，讓大部分聽眾都能聽得懂。其後的三分之一，再講給他本行的專家聽。最後三分之一，就只有他自己和上帝聽得懂了。

      作為結尾，我特別推薦一本P. R. Halmos的數學自傳"I Want to be a Mathematician, an Automathography" (Springer-Verlag, New York, 1985)。他在書中除了敘述自己的學術生涯外，對一位新進學者最有幫助的，是他給了如何教書，如何作研究，如何作服務性工作等作為一個職業數學家所會面臨到的所有問題的具體建議。仔細研讀一遍，應是會有收獲的。我前面所述的，也有部分是受到他的影響。

 

吳培元為陽明交通大學應用數學系榮譽退休教授，曾獲得國內外多種獎項，及擔任多種國際期刊編輯。